Содержание
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1.
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
1. Вычислить предел:
.
Решение.
При
имеем
Следовательно,
2. Найти асимптоты функции:
.
Решение.
Очевидно, что функция не определена при
.
Отсюда получаем, что
Следовательно,
– вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Следовательно,
– наклонная асимптота при
.
3. Определить глобальные экстремумы:
при
.
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим
.
.
А затем находим критические точки.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравниваем значения и получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции:
.
Решение.
Сначала находим
.
.
Затем находим критические точки.
x |
|
–3 |
|
0 |
|
|
– |
0 |
+ |
0 |
+ |
|
убывает |
min |
возрастает |
возрастает |
возрастает |
Отсюда следует, что функция
возрастает при
,
убывает при
.
Точка
– локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
.
Решение
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
.
x
|
|
–2 |
|
1 |
|
|
– |
0 |
– |
0 |
+ |
|
вогнутая |
перегиб |
выпуклая |
перегиб |
вогнутая |
Отсюда следует, что функция
выпуклая при
,
вогнутая при
.
Точки
,
– точки перегиба.
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
.
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Функция не является четной или нечетной, так как
.
3) Теперь найдем точки пересечения с осями:
а) с о
x
:
, б) с oy
.
4) Теперь найдем асимптоты.
а)
А значит,
является вертикальной асимптотой.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда следует, что
является наклонной асимптотой при
.
5) Теперь найдем критические точки
не существует при
.
6)
не существует при
x |
|
0 |
|
2 |
|
4 |
|
|
+ |
0 |
– |
Не сущ. |
– |
0 |
+ |
|
– |
– |
– |
Не сущ. |
+ |
+ |
+ |
y |
возрастает
выпуклая
|
max
|
убывает
выпуклая
|
не сущ. |
убывает
вогнутая
|
min
|
возрастает
вогнутая
|
Построим эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции
.
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили одну критическую точку:
. Исследуем ее.
Далее проведем исследование этой точки.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки
:
.
Следовательно, точка
не является точкой экстремума.
Это означает, что точек экстремума у функции
нет.
3. Определить экстремумы функции
, если
.
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
.
И исследуем ее
(Учитываем, что по условию
)
То есть мы получили четыре критические точки.
В силу условия
нам подходит только первая
.
Исследуем эту точку.
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
.
Для точки
Далее получаем
То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.
Следовательно,
– точка условного локального максимума.
.
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1–3. Найти неопределенный интеграл
1.
.
Решение.
.
2.
.
Решение.
.
3.
Решение.
.
4. Вычислить
.
Решение.
.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
.
Решение.
.
|