Лабораторная работа № 2
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР
Цель работы
Ознакомиться с аналоговым и дискретным вариантами реализации фильтра
Общие сведения
В аналоговом
варианте экспоненциальный фильтр представляет собой апериодическое звено и описывается дифференциальным уравнением
, (15)
где
и
– параметры настройки фильтра.
Уравнению (15) соответствует амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)
, (16)
где
– постоянная времени фильтра.
Из условия (3)
(математическое ожидание) для статического режима определяют оптимальное значение параметра
. Коэффициент усиления
. (17)
Определение оптимального значения параметра
производится из условия (4)
(среднеквадратичная погрешность оценки).
Для этого предварительно рассчитывают спектральную плотность
погрешности экспоненциального фильтра по формуле (7) с учётом (16) и (17).
. (18)
Дисперсия погрешности экспоненциального фильтра, согласно (6), (7), с учётом (16), равна
. (19)
При вычислении этого интеграла оба слагаемых подынтегрального выражения раскладывают на простые дроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида
. (20)
После выполнения соответствующих преобразований получают следующее выражение для дисперсии погрешности фильтрации:
. (21)
Оптимальное значение параметра настройки
получают из необходимого условия экстремума функции
:
. (22)
Откуда оптимальное значение параметра
. (23)
Таким образом, функция
имеет единственную точку стационарности, тип которой зависит от знака второй производной при
.
Можно показать, что при выполнении условия
, (24)
особая точка является минимумом функции
, а при выполнении условия
(25)
в точке
, функция
достигает максимума.
Таким образом, если сочетание характеристик полезного сигнала и помехи соответствуют случаю (24), то оптимальное значение параметра настройки
определяется по формуле (23).
Если это условие не выполняется, то оптимальным является наибольшее допустимое значение параметра
.
При программной
реализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (15) заменяют разностным уравнением вида
(26)
где i
– номер цикла расчёта
Отсюда получают следующее рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения
в очередном i
-том цикле расчёта:
(27)
К достоинствам алгоритма экспоненциальной фильтрации относятся: малая трудоёмкость расчётов и малый объём памяти ЭВМ, в которой должны храниться величина
и обновляемая в каждом цикле расчёта величина
.
Пример выполнения лабораторной работы с использованием пакета MCAD представлен в Приложении 3 к лабораторной работе №2. Здесь представлен вариант расчёта трёхкратного сглаживания экспериментальных данных, полученных от ИИК технологического процесса, построены графики.
Общая часть заданий
1. Ознакомиться с теоретическим описанием
2. Выполнить расчёты в MCAD сглаженных значений данных полученных от ИИК. Для расчётов пользоваться формулами:
За начало отсчёта примем следующие допущения:
Расчёт произвести для трёх значений g:
g = 0,4; 0,5; 0,6
3. Провести анализ полученных зависимостей на выполнение фильтрации полезного сигнала от помехи
|